फलन frac{1}{1+cot x} का समाकलन कीजिए। | vedclass

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Question

माना $I = \int \frac{1}{1+\cot x} dx$.$= \int \frac{1}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} dx$$= \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx$$= \frac{1}{2} \int \frac{2

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माना $I = \int \frac{1}{1+\cot x} dx$.$= \int \frac{1}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} dx$$= \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx$$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} dx$$= \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)}{\sin x+\cos x} dx$$= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$$= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$.माना $\sin x+\cos x = t$,तब $(\cos x-\sin x) dx = dt$,जिसका अर्थ है कि $(\sin x-\cos x) dx = -dt$.अतः,$I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{-dt}{t}$$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln |\sin x+\cos x| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

फलन $\frac{1}{1+\cot x}$ का समाकलन कीजिए।

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मान लीजिए $\beta(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,जहाँ $m, n > 0$ है। यदि $\int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx = a \times \beta(b, c)$ है,तो $100(a+b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int \left[ \log(\log x) + \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx = $

$ \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{(x^2-1)}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx = A \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right) + C$,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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